Question

9．如图①，我们利用作位似图形的方法，在Rt△A′B′C′．作出了两边分别落在两直角边上的最大正方形C′N′P′M′．
现有一块三角形的边角料，工人师傅想在边角料上裁出面积最大的正方形部件．
图②、图③是这块边角料的示意图，其中AB=AC=60，∠A=120°，请你参照图①的作法，在示意图上帮助工人师傅画出裁剪线，画线时，有两种方案：
方案一：所画的正方形一边落在BC边上，请你在图②中画出面积最大的正方形，并求此正方形的边长；
方案二：所画的正方形一边落在AB边上，请你在图③中画出面积最大的正方形，并求此正方形的边长．
综上，试比较方案一、方案二中画出的正方形，哪个面积大？并说明理由．

Answer 1

分析 根据已知三角形结合正方形的位置变化分别求出正方形的边长即可．

解答 解：如图②：当四边形EHGF是正方形，则EH=HG=FG=EF=x，
∵AB=AC=60，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，可得BC=60$\sqrt{3}$，
∴BH=CG=$\sqrt{3}$x，
∴x+2$\sqrt{3}$x=60$\sqrt{3}$，
解得：x=$\frac{360-60\sqrt{3}}{11}$≈23.3；
如图③：当四边形GAEF是正方形，则EA=AG=FG=EF=x，
∵AB=AC=60，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴BE=$\sqrt{3}$x，
∴x+$\sqrt{3}$x=60，
解得：x=30$\sqrt{3}$-30≈21.9，
故方案一中的正方形边长大．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及直角三角形的性质，正确表示出三角形的边长是解题关键．