Question

10．已知a=1+$\sqrt{2}$．
（1）写一个一元二次方程，使得x=a是该方程的一个解；
（2）试证明x=a是方程x²-2x-1=0的一个解；
（3）求a³-4a²+3a+11的值．

Answer 1

分析 （1）设方程的另一个根为x=1-$\sqrt{2}$，则根据韦达定理写出该方程即可；
（2）把x=1+$\sqrt{2}$代入进行验证；
（3）根据（2）得到：a²-2a=1．所以将其整体代入整理后的所求代数式进行求值．

解答 （1）解：设方程的另一个根为x=1-$\sqrt{2}$，
则x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，
所以符合条件的关于x的一元二次方程可以为：x²-2x-1=0；

（2）证明：把x=1+$\sqrt{2}$代入x²-2x-1=0，得
左边=（1+$\sqrt{2}$）²-2（1+$\sqrt{2}$）-1=0=右边，即x=a是方程x²-2x-1=0的一个解；

（3）解：由（2）知，x=a是方程x²-2x-1=0的一个解，则a²-2a=1．
所以a³-4a²+3a+11
=a（a²-2a）-2a²+3a+11
=-2（a²-2a）+11
=-2+11
=9．

点评 该题主要考查了一元二次方程的解及其应用问题；灵活运用解的定义来分析、判断是解题的关键．