Question

4．如图，已知AD平分∠BAC，∠BAC+∠BDC=180°．
（1）若AC=CD，∠B=50°，求∠ADB；
（2）若∠C是钝角，求证：BD=CD．

Answer 1

分析 （1）根据四边形的内角和为360°，∠BAC+∠BDC=180°，可得∠B+∠C=180°，求出∠C的度数，利用等腰三角形的性质，求出∠DAC=∠ADC=25°，
根据AD平分∠BAC，所以∠BAC=2∠DAC=50°，得到∠BDC=130°，根据∠ADB=∠BDC-∠ADC，即可解答；
（2）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC延长线于N，证明△DMB≌△DNC，即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=50°，
∴∠C=130°，
∵∵AC=CD，∠C=130°，
∴∠DAC=∠ADC=（180°-∠C）÷2=25°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC=50°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠BDC=130°，
∴∠ADB=∠BDC-∠ADC=130°-25°=105°．
（2）如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC延长线于N，

∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，∠DMB=∠DNC=90，
∵∠ACD+∠B=180，∠ACD+∠DCN=180，
∴∠B=∠DCN，
在△BDM与△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DCN}\\{∠BMD=∠CND}\\{BD=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMB≌△DNC （AAS），
∴BD=CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．