Question

9．在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，如：$5+2\sqrt{6}=（2+3）+2\sqrt{2×3}={（\sqrt{2}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}+2\sqrt{2}•\sqrt{3}={（\sqrt{2}+\sqrt{3}）^2}$$8-2\sqrt{15}=（5+3）-2\sqrt{5×3}={（\sqrt{5}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}-2\sqrt{5}×\sqrt{3}={（\sqrt{5}-\sqrt{3}）^2}$
（1）请你按照上述方法将$10+2\sqrt{21}$化成一个式子的平方．
（2）将下列等式补充完整$a+b-2\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²（a≥0  b≥0），并证明这个等式．
（3）若$a+2\sqrt{15}={（\sqrt{m}+\sqrt{n}）^2}$且a、m、n均为正整数，则a=8或16．

Answer 1

分析 （1）利用题中的方法，把10分成7与3的和，把21分成7与3的积，然后利用完全平方公式写成平方式即可；
（2）把a和b写成（$\sqrt{a}$）²与（$\sqrt{b}$）²，然后利用完全平方公式写成平方式即可；
（3）利用完全平方公式把等式右边展开，则m+n=a，mn=15，然后利用有理数的整除性确定m和n的值，再计算对应的a的值．

解答 解：（1）10+2$\sqrt{21}$=7+2$\sqrt{21}$+3=（$\sqrt{7}$）²+2$\sqrt{7}$•$\sqrt{3}$+（$\sqrt{3}$）²=（$\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$）²；
（2）$a+b-2\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²；
证明如下：$a+b-2\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt{b}$）²-2$\sqrt{a}$•$\sqrt{b}$=（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²；
（3）∵$a+2\sqrt{15}={（\sqrt{m}+\sqrt{n}）^2}$，
∴a+2$\sqrt{15}$=m+2$\sqrt{mn}$+n，
∴m+n=a，mn=15，
而a、m、n均为正整数，
∴m与n的值为3和5或1和15，
∴a的值为8或16．
故答案为（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²；8或16．

点评 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．