Question

二次函数y=m(x-

1

m

)(x-4)的图象与x轴交于点A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．
（1）当m=-1时，求出二次函数图象的顶点坐标；
（2）当△ABC满足以下条件时，分别求出m的值：
①当△ABC的面积为12时；②若△ABC为直角三角形．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）求出抛物线的解析式，配成顶点式即可解决问题．
（2）①求出A、B、C三点的坐标，借助面积公式即可解决问题．
②由题意判断m＜0，抛物线开口向下，这是解决问题的关键性结论；借助三角形的有关性质求出OA的长，即可解决问题．

解答：解：（1）当m=-1时，
y=-x²+3x+4=-(x-1.5)2+

25

4

，
故该二次函数图象的顶点坐标为（1.5，6.25）．
（2）∵当x=0时，y=4；当y=0时，x=

1

m

或4，
∴AB=|4-

1

m

|，OC=4；
①∵△ABC的面积为12，
∴

1

2

×AB×OC=12，
即

1

2

|4-

1

m

|×4=12，
解得：m=

1

10

或-

1

2

．
②由题意可得：当△ABC为直角三角形时，m＜0，
抛物线开口向下；
由（2）知：A（

1

m

，0）、B（4，0）、C（0，4）；
∵△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°；而OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴OA=OC=4，即-

1

m

=4，
解得m=-0.25．

点评：该题主要考查了抛物线与x轴的交点问题；牢固掌握抛物线的性质，灵活运用有关定理来分析、判断是解决抛物线问题的关键；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．