Question

如图1，已知直线y=-

4

3

x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图2，在线段AB上取一点D，连接CD，将△BCD沿CD折叠，使得点B落在直线AC上的点B′处，求直线CD的解析式；
（4）在（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△CPD与△CBD全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值，可得答案；
（2）根据折叠的性质，可得B′D=BD，根据三角形的面积，可得关于D点的纵坐标的方程，根据解方程，可得D点的坐标，根据待定系数法，可得答案；
（3）分类讨论：当△CPD≌△CBD时，当△CPD≌△DBC时，根据全等三角形的性质，可得关于P点坐标的方程组，根据解方程组，可得P点坐标．

解答：解：（1）y=-

4

3

x+4，代入y=0得x=3，∴A（3，0）；
代入x=0得y=4，∴C（0，4）；
（2）设D（3，b），根据折叠的性质可得B′D=BD=4-b，
由勾股定理，得
AC=

OA2+CO2

=

32+42

=5，
由三角形的面积，得S_△ACD=

1

2

AD•BC=

1

2

AC•B′D，即

1

2

×3b=

1

2

×5×（4-b）．
解得b=

5

2

，即D（3，

5

2

）．
设直线CD的解析式为y=kx+4，代入x=3，y=2.5 得k=-0.5  
∴直线CD的解析式为y=-0.5x+4；
（3）存在P点使得△CPD与△CBD全等，
设P（a，b），BC=4，BD=4-

5

2

=

3

2

．
当△CPD≌△CBD时，CP=CB，PD=BD，CD=CD，得

a2+(b-4)2 =4 (a-3)2+(b- 5 2 )2 = 3 2

，
解得

a1= 11 3 b1=3

，P₁（

11

3

，3），

a2=3 b2= 5 3

，P₂（3，

5

3

）；
当△CPD≌△DBC时，CP=DB，PD=BC，得

a2+(b-4)2 = 3 2 (a-3)2+(b- 5 2 )2 =3

，
解得

a3= 13 20 b3= 53 10

，

a4=- 13 20 b4= 27 10

即P₃（

13

20

，

53

10

），P₄（-

13

20

.

27

10

），
综上所述：P₁（

11

3

，3），P₂（3，

5

3

），P₃（

13

20

，

53

10

），P₄（-

13

20

.

27

10

）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，（1）利用了函数值与自变量的关系，（2）利用了折叠的性质，同一个三角形面积的不同表示方法，（3）利用了全等三角形的性质，解方程组是解题关键．