Question

18．如图，正方形ABCD的边长为6cm．点M为BC上一点（点M不与B，C重合）点N为CD上一点，∠MAN=45°．
（1）求证：BM+DN=MN；
（2）设BM=x，DN=y，写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）延长CB到Q使BQ=DN，连接AQ，根据SAS证△DAN≌△BAQ，求出AN=AQ，∠DAN=∠BAQ，求出∠NAM=∠MOQ=45°，根据SAS证△NAM≌△QAM，推出DN+BM=MN，根据三角形的周长得出△CNM的周长等于DC+BC，代入求出即可．
（2）根据（1）的结论，根据勾股定理列出x、y的等式，整理变形后即可求得．

解答 解：（1）延长CB到Q，使BQ=DN，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABQ=90°，
在△ADN和△ABQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABQ}\\{DN=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ABQ（SAS），
∴∠DAN=∠BAQ，AN=AQ，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠BAM+∠QAB=45°，
即∠MAN=∠MAQ，
在△MAN和△MAQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN-=AQ}\\{∠NAM=∠MAQ}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△MAN≌△MAQ，
∴MN=MQ=BM+DN，
即BM+DN=MN．
（2）设BM=x，DN=y，
∵正方形ABCD的边长为6cm．
∴CM=6-x，CN=6-y，
∵MN=x+y，
根据勾股定理得出（x+y）²=（6-x）²+（6-y）²，
整理得，xy=36-6x-6y，
∴y=$\frac{36-6x}{6+x}$（0＜x＜6）．

点评 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是考查学生的推理能力，题目具有一定的代表性，是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．