Question

6．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=66°，CE是⊙O的直径，点D是CE延长线上的一点．且∠D=42°．
（1）说明：DA是⊙O的切线；
（2）若AB=AC，AB交CE于点F，且EF=4，ED=3，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理求出∠AOC=132°，进而求得∠AOD=48°，即可求得∠AOD+∠D=90°，证得OA⊥AD，从而得出结论；
（2）连接AE，根据切线的性质圆周角定理和等腰三角形的性质得出∠DAF=∠AEF，即可证得△AFE∽△DFA，根据相似三角形的性质即可求得AF．

解答 （1）证明：∵∠B=66°，
∴∠AOC=2∠B=132°，
∴∠AOD=48°，
∵∠D=42°，
∴∠AOD+∠D=90°，
∴OA⊥AD，
∴DA是⊙O的切线；
（2）解：连接AE，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵DA是⊙O的切线，
∴∠DAF=∠ACB，
∴∠DAF=∠B，
∵∠B=∠AEF，
∴∠DAF=∠AEF，
∵∠AFE=∠DFA，
∴△AFE∽△DFA，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{AF}{DF}$，
∵EF=4，ED=3，
∵DF=7，
∴$\frac{4}{AF}$=$\frac{AF}{7}$，
∴AF=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角形相似的判定，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理以及三角形相似的判定．