如图1.在平面直角坐标系中.O为坐标原点.抛物线y=a(x-h)2+k的顶点A的坐标为(1.0).与y轴交点B的坐标为(0.$\frac{\sqrt{3}}{2}$)．(1)求抛物线的解析式,(2)如图2.直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b与x轴交于点C.与y轴交于点D.若点A关于直线CD的对称点E恰好落在抛物线上.求E点坐标,的条件下.P是对称轴右侧抛物线上一点.过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=a（x-h）²+k的顶点A的坐标为（1，0），与y轴交点B的坐标为（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求抛物线的解析式（顶点式即可）；
（2）如图2，直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b与x轴交于点C，与y轴交于点D，若点A关于直线CD的对称点E恰好落在抛物线上，求E点坐标；
（3）在（2）的条件下，P是对称轴右侧抛物线上一点，过点P作x轴的平行线交线段CD于点Q，连接PE、QE，设P点横坐标为t，当∠PEQ=60°时，求t的值．

分析（1）先根据顶点坐标求出h、k，再把点（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入即可求出a．
（2）根据两直线垂直k的乘积为-1，先求出直线AE，利用方程组即可求出点E坐标．
（3）先证明E、Q、A、P四点共圆，得到∠QAP=120°，再证明△ADQ∽△AMP，得$\frac{DQ}{PM}$=$\frac{AD}{AM}$，列出方程即可解决问题．

解答解：（1）∵抛物线y=a（x-h）²+k的顶点A的坐标为（1，0），
∴h=1，k=0，
∴抛物线解析式为y=a（x-1）²，
把点（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入得到a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-1）²．
（2）如图，∵点A关于直线CD的对称点E恰好落在抛物线上，
∴AE⊥CD，
∵直线CD解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∴可以假设直线AE的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+b，把点（1，0）代入得b=$\sqrt{3}$，
∴直线AE解析式为y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}（x-1）^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴点E坐标为（-1.2$\sqrt{3}$）．
（3）如图设PE与CD的延长线交于点N，作PM⊥OA于M．设点P坐标[t，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-1）²]
由（2）可知点E（-1，2$\sqrt{3}$），A（1，0），
∴AE的中点坐标（0，$\sqrt{3}$），把（0，$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b得到b=$\sqrt{3}$，
∴点D坐标（0，$\sqrt{3}$），
∴点D是AE中点．DE=DA，
∵CD垂直平分AE，
∴NE=NA，QE=QA，
∴∠1=∠2，∠QEA=∠QAE，
∴∠PEQ=∠QAN=60°，
∵tan∠DCO=$\frac{OD}{CO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DCO=30°，
∴∠CAD=60°，
∴∠CAD=∠QAN，
∴∠4=∠2，
∵PQ∥CA，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴E、Q、A、P四点共圆，
∴∠QAP+∠PEQ=180°，
∴∠QAP=120°，
∵∠4+∠PAM=60°，∠4+∠QAD=60°，
∴∠PAM=∠QAD，∵∠ADQ=∠PMA=90°，
∴△ADQ∽△AMP，
∴$\frac{DQ}{PM}$=$\frac{AD}{AM}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}（t-1）^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}（t-1）^{2}}$=$\frac{2}{t-1}$，
解得t=2或-1（舍弃），
∴t=2．