题目内容
18．
在直角坐标系中，点O为原点，点B的坐标为（4，3），四边形ABCO是矩形，点D从B出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时点E从O点出发以每秒1个单位的速度向终点A运动，过D作DP⊥BC与AC交于点P，过E作EF⊥AO与AC交于点F，连结DF、PE．（1）求出直线AC的解析式，若动点D运动t秒，写出P点的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）当t＜2时，四边形EFDP能否是菱形？若能，则求t的值；若不能，请说明理由；
（3）设四边形COEP的面积为S，请写出S与t的函数关系式，并求出S的最小值；
（4）△APE能否是等腰三角形？若能，请直接写出此时P点的坐标．
分析 （1）由矩形的性质结合点B的坐标即可得出点C、A的坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，根据运动的规则即可得出点D的坐标由此即可得出点P的坐标；
（2）假设能，由点E的坐标可得出点F的坐标，由此得出DP=EF，再由DP∥EF可得出四边形EFDP为平行四边形，根据菱形的性质可得出DF=EF，由此可得出关于t的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分割图形求面积法求出S四边形COEP=S△COA-S△EPA，利用三角形的面积公式即可得出结论，再根据二次函数的性质即可解决最值问题；
（4）由点A、E、P的坐标，可得出线段AE、EP、AP的长度，根据等腰三角形的性质可分三种情况考虑，根据两边相等可得出关于t的方程，解方程可得出t的值，代入点P坐标中即可得出结论．
解答 解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（4，3），
∴点A的坐标为（4，0）、点C的坐标为（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+3，
∵点A（4，0）在直线AC上，
∴0=4k+3=0，解得：k=-$\frac{3}{4}$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3．
∵点D从B出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，
∴点D的坐标为（4-t，3），
∵DP⊥BC，点P在直线AC上，
∴点P的坐标为（4-t，-$\frac{3}{4}$（4-t）+3），即（4-t，$\frac{3}{4}$t）（0≤t≤4）．
（2）假设可以．
∵点E从O点出发以每秒1个单位的速度向终点A运动，
∴点E的坐标为（t，0），
∵EF⊥AO，
∴点F的坐标为（t，-$\frac{3}{4}$t+3）．
∴DP=3-$\frac{3}{4}$t，EF=3-$\frac{3}{4}$t，DF=$\sqrt{（4-2t）^{2}+[3-（3-\frac{3}{4}t）]^{2}}$，
∴DP=EF．
∵DP⊥BC，EF⊥AO，AO∥BC，
∴DP∥EF，
∴四边形EFDP为平行四边形．
∵四边形EFDP是菱形，
∴DF=EF，即$\sqrt{（4-2t）^{2}+[3-（3-\frac{3}{4}t）]^{2}}$=3-$\frac{3}{4}$t，
解得：t=$\frac{7}{8}$，或t=2（舍去）．
故当t＜2时，四边形EFDP可以为菱形，此时t的值为$\frac{7}{8}$．
（3）∵点A（4，0），点E（t，0），
∴AE=4-t，
∴S四边形COEP=S△COA-S△EPA=$\frac{1}{2}$OC•OA-$\frac{1}{2}$AE•yP=6-$\frac{1}{2}$（4-t）$\frac{3}{4}$t=$\frac{3}{8}{t}^{2}$-$\frac{3}{2}$t+6（0≤t≤4）．
∵S四边形COEP=$\frac{3}{8}{t}^{2}$-$\frac{3}{2}$t+6=$\frac{3}{8}$（t-2）2+$\frac{9}{2}$，
∴当t=2时，S四边形COEP取最小值，最小值为$\frac{9}{2}$．
（4）假设能．
∵点A（4，0），点E（t，0），点P（4-t，$\frac{3}{4}$t），
∴AE=4-t，AP=$\frac{5}{4}$t，EP=$\sqrt{（4-2t）^{2}+[3-（3-\frac{3}{4}t）]^{2}}$．
△APE为等腰三角形分三种情况：
①当AE=AP时，即4-t=$\frac{5}{4}$t，
解得：t=$\frac{16}{9}$，
此时点P（$\frac{20}{9}$，$\frac{4}{3}$）；
②当AE=EP时，即4-t=$\sqrt{（4-2t）^{2}+[3-（3-\frac{3}{4}t）]^{2}}$，
解得：t=0（舍去），或t=$\frac{128}{57}$，
此时点P（$\frac{100}{57}$，$\frac{32}{19}$）；
③当AP=EP时，即$\frac{5}{4}$t=$\sqrt{（4-2t）^{2}+[3-（3-\frac{3}{4}t）]^{2}}$，
解得：t=$\frac{4}{3}$，或t=4（舍去），
此时点P（$\frac{8}{3}$，1）．
综上可知：△APE能为等腰三角形，此时P点的坐标为（$\frac{20}{9}$，$\frac{4}{3}$）、（$\frac{100}{57}$，$\frac{32}{19}$）或（$\frac{8}{3}$，1）．
点评 本题考查了矩形的性质、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线AC的解析式；（2）根据菱形的性质得出关于t的方程；（3）利用分割图形求面积法找出S关于t的函数关系式；（4）分情况讨论．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式，再由一次函数图象上点的坐标特征求出直线上点的坐标是关键．
一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的序号是①．
四边形ABCD是菱形，AC=16，DB=12，DH⊥AB于点H，求DH的长．
如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC=1：2．
已知：一次函数y=-x+b的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B与反比例函数$y=\frac{5}{x}（x＞0）$的图象交于点C、D，且$\frac{BD}{BA}=\frac{2}{3}$．
