Question

17．问题情境：
如图1，已知△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，CD=CE=1，点D在AC边上，点E在BC延长线上，将△DCE从此位置开始绕C点顺时针旋转，旋转角是α（0°＜α＜180°）
操作发现：
（1）如图2，当旋转角α=45°时，连接AD．求证：四边形ACED是平行四边形；
 （2）如图3，当°＜α＜90°时，连接BD，AE，判断线段BD与AE的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）如图3，当0°＜α＜180°时，连接AD，点F，G，H分别是线段AB，AD，DE的中点，连接FG，GH，FH，在△CDE旋转的过程中，AE与BD的数量关系是AE=BD．所以△FGH始终是一个特殊三角形，当旋转角α=135°时，△FGH的面积是$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 分析：（1）用∠ACD=∠EDC=45°，说明AD∥CE，用勾股定理说明AD=CE，再证明平行四边形；
（2）利用“边角边”证明△BCD与△ACE全等，说明两条线段BD=AE；
（3）证明△BCD≌△ACE，说明BD=AE，利用角间关系说明BD⊥AE，先求出BD的长，再利用中位线定理计算线段FG与△FGH的面积．

解答 解：（1）证明：在RT△DCE中，∵DC=CE=1，
∴DE=$\sqrt{2}$，
∴AC=DE，
∵∠ACD=∠EDC=45°，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形．
（2）BD=AE．
如图，

理由：∵∠ABC=∠DCE=90°，
∴∠ABC+α=∠DCE+α，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠}\\{DC=EC}\end{array}\right.ACE$
∴△BCD≌△ACE，
∴BD=AE．
（3）如图：

∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ABC+α=∠DCE+α，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠}\\{DC=EC}\end{array}\right.ACE$
∴△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
∵（∠CAB+∠CAE）+（∠CBA-∠CBD）=∠CAB+∠CBA=90°，
∴BD⊥AE；
∵F、G、H分别是AB、AD、DE的中点，
∴FG∥BD，GH∥AE，FG=$\frac{1}{2}$BD=GH=$\frac{1}{2}$AE，
∴△GFH是等腰直角三角形，
当α=135°时，∠BCD=360°-∠ACB-∠ACD=135°，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-BD×CD×cos∠BCD，
∵BC=$\sqrt{2}$，CD=1，cos135°=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BD²=2+1-$\sqrt{2}$×1×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=5，
∴BD=$\sqrt{5}$，FG=GH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在RT△FGH中，S_△FGH=$\frac{1}{2}$×FG×GH=$\frac{5}{8}$．
答案：BD=AE；BD⊥AE；$\frac{5}{8}$．

点评 点评：本题是一道与四边形相关的综合性题目，考察的知识点有：平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及旋转、三角形的中位线等相关知识．计算三角形的面积，利用余弦定理求CD是关键．