Question

17．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=$\sqrt{3}$，BC=1，连结BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R．
（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；
（2）求AP：PC的值；
（3）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答．（根据提出问题的层次和解答过程平分）

Answer 1

分析 （1）已知三个全等的等腰三角形，以及边长，所以可求得各线段的长，即可求得线段的比值，由公共角即可证得△BFG∽△FEG；
（2）利用△BPC～△BFG求得PC的长，进而可知AP的长，即可得答案．
（3）可以提问求证：∠PCB=∠REC，这个问题只需要运用两直线平行，同位角相等进行解答．此题为发散性题型，不唯一．

解答 解：（1）据题意知BC=CE=EG=1，BG=3，FG=AB=$\sqrt{3}$，
在△BFG和△FEG中，
∵$\frac{FG}{EG}$=$\frac{BG}{FG}$=$\sqrt{3}$，∠G=∠G
∴△BFG∽△FEG；

（2）∵△ABC≌△FEG，
∴∠ACB=∠G，
∴PC∥FG，
∴△BPC～△BFG，
∴$\frac{PC}{BC}$=$\frac{FG}{BG}$，即 $\frac{PC}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：PC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AC=AB=$\sqrt{3}$，
∴AP=AC-PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2．

（3）①求证：∠PCB=∠REB，②求证：PC∥RE，答案不唯一．
证明：∵△ABC≌△DCE，
∴∠PCB=∠REB，
∴PC∥RE．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质及全等三角形、等腰三角形的性质运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．