Question

8．如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出不等式kx+b＜$\frac{m}{x}$时x的解集．

Answer 1

分析 （1）先把B点坐标代入y=$\frac{m}{x}$，求出m得到反比例函数解析式为y=-$\frac{8}{x}$，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先求C点坐标，然后根据三角形面积公式和S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当-4＜x＜0或x＞2时，一次函数图象都在反比例函数图象下方，即有kx+b＜$\frac{m}{x}$．

解答 解：（1）∵B（2，-4）在函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=2×（-4）=-8，
∴反比例函数的解析式为：y=-$\frac{8}{x}$．
∵点A（-4，n）在函数y=-$\frac{8}{x}$的图象上，
∴n=-$\frac{8}{-4}$=2，
∴A（-4，2）．
∵y=kx+b经过A（-4，2），B（2，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=-x-2；

（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=-2，
∴点C（-2，0），
∴OC=2，
∴S_△AOB=S_△ACO+S_△BCO=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4=6；

（3）不等式kx+b＜$\frac{m}{x}$时x的解集为-4＜x＜0或x＞2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求一次函数解析式和观察函数图象的能力．