如图.正方形AOCB在平面直角坐标系x0y中.点O为原点.点B在反比例函数y=$\frac{16}{x}$图象上．(1)求△BOC的面积,(2)若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动.同时动点F从B开沿BC向C以每秒2个单位的速度运动.当其中一个动点到达端点时.另一个动点随之停止运动．若运动时间用t表示.△BEF的面积用S表示.求出关于t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图，正方形AOCB在平面直角坐标系x0y中，点O为原点，点B在反比例函数y=$\frac{16}{x}$（x＞0）图象上．
（1）求△BOC的面积；
（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F从B开沿BC向C以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t表示，△BEF的面积用S表示，求出关于t的函数关系式；
（3）当运动时间为$\frac{4}{3}$秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）设B的坐标是（m，m），代入反比例函数的解析式求得m的值，则三角形的面积即可求得；
（2）表示出△BEF的面积，再利用二次函数最值求法得出即可；
（3）①作F点关于x轴的对称点F₁，得F₁（4，-$\frac{4}{3}$），经过点E、F₁作直线求出图象与x轴交点坐标即可；
②作E点关于y轴的对称点E₁，得E₁（-$\frac{4}{3}$，4），经过点E₁、F作直线求出图象与y轴交点坐标即可．

解答解：（1）设B的坐标是（m，m），
则m²=16，
解得：m=4或-4（舍去）．
则S_△BOC=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
（2）∵运动时间为t，
∴AE=t，BF=2t，
∵AB=4，
∴BE=4-t，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$（4-t）•2t=-t²+4t；

（3）存在．
当t=$\frac{4}{3}$时，点E的坐标为（$\frac{4}{3}$，4），点F的坐标为（4，$\frac{4}{3}$），
①作F点关于x轴的对称点F₁，得F₁（4，-$\frac{4}{3}$），经过点E、F₁作直线，
由E（$\frac{4}{3}$，4），F₁（4，-$\frac{4}{3}$）代入y=ax+b得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}a+b=4}\\{4a+b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
可得直线EF₁的解析式是y=-2x+$\frac{20}{3}$；
当y=0时，x=$\frac{10}{3}$，
∴P点的坐标为（$\frac{10}{3}$，0）
②作E点关于y轴的对称点E₁，得E₁（-$\frac{4}{3}$，4），经过点E₁、F作直线，
由E₁（-$\frac{4}{3}$，4），F（4，$\frac{4}{3}$）设解析式为：y=kx+c，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{3}k+c=4}\\{4k+c=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{c=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
可得直线E₁F的解析式是：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{10}{3}$，
当x=0时，y=$\frac{10}{3}$，
∴P点的坐标为（0，$\frac{10}{3}$），
∴P点的坐标分别为（$\frac{10}{3}$，0）或（0，$\frac{10}{3}$）．