Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）用直尺和圆规作图：
①作∠A的平分线交BC于D；
②作⊙O，使得圆心O在AB上且圆经过点A、D．
（2）判定⊙O与BC的位置关系，并证明你结论；
（3）若所作的圆与AB交于点E，AC=3，AE=4，求AD的值．

Answer 1

分析 （1）作出∠BAC的角平分线即可得到点D，再作出AD的垂直平分线与AB交于点O，以OA长为半径就可以作出符合要求的圆；
（2）利用角平分线性质证得OD∥AC就可以证出BC与⊙O相切；
（3）连接DE，证明△AED∽△ADC，利用边对应成比例可以求出AD的长．

解答 解：（1）如图所示：

作∠BAC角平分线AD，与BC交于点D，则点D为所求；
作AD垂直平分线，与AB交于点O，以OA长为半径画圆，则⊙O为所求．
（2）⊙O与BC相切
连接OD，如图2所示：

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴⊙O与BC相切
（3）连接DE，如图3所示：

∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠EAD=∠DAC，∠C=90°，
∴△AED∽△ADC
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AC}$，
∵AC=3，AE=4，
∴AD²=3×4=12，则AD=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了角平分线及垂直平分线的作法，还考查了切线性质、相似三角形性质．根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．