Question

已知：在?ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，点M为AE上一点，且ME=AB，AM=CE，连接CM并延长交AD于点F．
（1）若点E是CD的中点，求证：△ABC是等腰三角形．
（2）求证：∠AFM=3∠BCF．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）易证△ADC是等腰三角形，所以AC=AD，根据平行四边形的性质可知：AD=BC，所以AC=BC，即△ABC是等腰三角形．
（2）连接BM，由已知条件可证明：△ABM≌△ECM，所以∠CME=∠AMF，再根据三角形外角之间的关系即可证明：∠AFM=3∠BCF．

解答：证明：（1）∵AE⊥CD，CE=DE，
∴AC=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）连接BM，
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠CEM，
在△ABM和△ECM中，

AB=ME ∠BAM=∠CEM AM=CE

，
∴△ABM≌△ECM（SAS），
∵∠AMF=∠ACM+∠CAM，∠CME=∠AMF，
∴∠CME=∠ACM+∠CAM，
∵∠CAE=∠DAE，
∴∠AFM=3∠BCF．

点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．