Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当∠MAN绕点A旋转到（图3）的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？证明你的猜想．
（3）若正方形的边长为4，当点N运动到DC边的中点处时，求BM的长．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN；
（2）DN-BM=MN．证明方法与（1）类似；
（3）根据（1）可知，BM+DN=MN，设 MN=x，则 BM=x-2，则CM=4-（x-2）=6-x，在Rt△CMN中，利用MN²=CM²+CN²，求出即可．

解答：解：（1）BM+DN=MN成立．
理由：如图2，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，
得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
在△AEM与△ANM中，

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；

（2）DN-BM=MN．
理由：如图3，在线段DN上截取DQ=BM，
在△AMN和△AQN中，

AQ=AM ∠QAN=∠MAN AN=AN

∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．

（3）如图1，
∵正方形的边长为4，DN=2，
∴CN=2．
根据（1）可知，BM+DN=MN，
设 MN=x，则 BM=x-2，
∴CM=4-（x-2）=6-x．
在Rt△CMN中，
∵MN²=CM²+CN²，
∴x²=（6-x）²+2²．
解得 x=

10

3

．
∴MB=

10

3

-2=

4

3

．

点评：此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，运用截长补短法构造全等三角形是关键．也可运用图形的旋转性质构造全等三角形．