Question

9．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为$\sqrt{2}$：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示．

（1）如图①，求证：BA=BP；
（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求$\frac{CG}{GB}$的值；
（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD=$\sqrt{2}$a．通过计算得出AB=BP=$\sqrt{2}$a，由此即可证明；
（2）如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD=$\sqrt{2}$a，可得CQ=CQ′=$\sqrt{2}$a-a，由CQ′∥AB，推出$\frac{CG}{GB}$=$\frac{CQ′}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}a-a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$；
（3）如图③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．由S_△MNT=$\frac{1}{2}$•TH•CK+$\frac{1}{2}$•TH•BK=$\frac{1}{2}$HT•（KC+KB）=$\frac{1}{2}$HT•BC=$\frac{1}{2}$HT，利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题；

解答 （1）证明：如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD=$\sqrt{2}$a．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵PC=AD=BC=a，
∴PB=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴BA=BP．

（2）解：如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．

设AD=BC=QD=a，则AB=CD=$\sqrt{2}$a，
∴CQ=CQ′=$\sqrt{2}$a-a，
∵CQ′∥AB，
∴$\frac{CG}{GB}$=$\frac{CQ′}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}a-a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

（3）证明：如图③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．

由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD=$\sqrt{2}$，DP=CF=$\sqrt{2}$-1，
∵S_△MNT=$\frac{1}{2}$•TH•CK+$\frac{1}{2}$•TH•BK=$\frac{1}{2}$HT•（KC+KB）=$\frac{1}{2}$HT•BC=$\frac{1}{2}$HT，
∵TH∥AB∥FM，TF=TB，
∴HM=HN，
∴HT=$\frac{1}{2}$（FM+BN），
∵BN=PM，
∴HT=$\frac{1}{2}$（FM+PM）=$\frac{1}{2}$PF=$\frac{1}{2}$•（1+$\sqrt{2}$-1）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△MNT=$\frac{1}{2}$HT=$\frac{\sqrt{2}}{4}$=定值．

点评 本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造梯形的中位线解决问题，属于中考压轴题．