Question

18．如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC=60°，AB=4，BC=2$\sqrt{3}$，点D为AC与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的交点．若直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，则k的值为-4或-8．

Answer 1

分析 过C作CE⊥AB于E，根据∠ABC=60°，AB=4，BC=2$\sqrt{3}$，可求得△ABC的面积，再根据点D将线段AC分成1：2的两部分，分两种情况进行讨论，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到k的值．

解答 解：如图所示，过C作CE⊥AB于E，
∵∠ABC=60°，BC=2$\sqrt{3}$，
∴Rt△CBE中，CE=3，
又∵AC=4，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB×CE=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
连接BD，OD，
∵直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，
∴点D将线段AC分成1：2的两部分，
当AD：CD=1：2时，△ABD的面积=$\frac{1}{3}$×△ABC的面积=2，
∵AC∥OB，
∴△DOA的面积=△ABD的面积=2，
∴$\frac{1}{2}$|k|=2，即k=±4，
又∵k＜0，
∴k=-4；
当AD：CD=2：1时，△ABD的面积=$\frac{2}{3}$×△ABC的面积=4，
∵AC∥OB，
∴△DOA的面积=△ABD的面积=4，
∴$\frac{1}{2}$|k|=4，即k=±8，
又∵k＜0，
∴k=-8，
故答案为：-4或-8．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，以及反比例函数系数k的几何意义的运用．过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．解题时注意分类思想的运用．