Question

19．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，BE，AD分别为∠ABC，∠CAB的角平分线，AB=6，则DE的长为（　　）

• A． 3
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 5

Answer 1

分析 连结OE，OD．先证明∠CAB+∠CBA=90°，由角平分线的定义可证明∠DAB+∠EBA=45°，接下来，利用圆周角定理可知可证明∠AOE+∠BOD=90°，则△EOD为等腰直角三角形，最后利用特殊锐角三角函数值可求得ED的长．

解答 解：连结OE，OD．

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵BE，AD分别为∠ABC，∠CAB的角平分线，
∴∠DAB+∠EBA=45°．
由圆周角定理可知∠AOE=2∠ABE，∠DOB=2∠DAB，
∴∠AOE+∠BOD=90°．
∴∠EOD=90°．
∵AB=6，
∴OE=OD=3．
∴ED=$\sqrt{2}$OE=3$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查的是圆周角定理以及其推理的应用、特殊锐角三角函数值，得到△EOD为等腰直角三角形是解题的关键．