Question

4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+6的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A、B两点的横坐标分别为1和3．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在（2）的抛物线上，是否存在一点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据x轴上点的特点直接得出点A，B坐标；
（2）将点A，B坐标代入抛物线解析式，解方程组即可；
（3）根据∠BAP=45°，得|m|=1，再分点P在x轴上方和x轴下方两种情况求出直线AP的解析式，联立抛物线解析式求出交点坐标即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+6的图象交x轴于A、B两点，且A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A（1，0），B（3，0）；
（2）由（1）知，A（1，0），B（3，0），
∵二次函数y=ax²+bx+6的图象交x轴于A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+6=0}\\{9a+3b+6=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=2x²-8x+6；

（3）假设存在点P，设直线AP的解析式为y=mx+n，
∵∠BAP=45°，
∴|m|=1，
当点P在x轴上方时，m=1，
∵A（1，0），
∴直线AP的解析式为y=x-1①，
∵点P在抛物线y=2x²-8x+6②上，
∴联立①②得$\left\{\begin{array}{l}{x=x-1}\\{y=2{x}^{2}-8x+6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{2}$），
当点P在x轴下方时，m=-1，
∵A（1，0），
∴直线AP的解析式为y=-x+1③，
联立②③得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=2{x}^{2}-8x+6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
即：P（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求抛物线和直线的解析式，求直线和抛物线的交点坐标，解方程组，用待定系数法求出直线AP和抛物线的解析式是解本题的关键．