Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k₁x+b与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于点A（-1，6）和点B（3，m），与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求一次函数y=k₁x+b和反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的表达式；
（2）点P是双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上的一点，且满足S_△PCD=S_△DOC，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出k₂的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k₁与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）如图，当P在第二象限时，连接PC，PO，作PE⊥y轴于E，求得D的横坐标为2，根据已知条件得到PE=OD=2，求得P的横坐标为-2，把x=-2代入y=-$\frac{6}{x}$中得y=3，于是得到结论；同理可得当点P在第四象限时，求得P（2，-3）．

解答 解：∵A（-1，6）在y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上得k₂=-6．
∴y=-$\frac{6}{x}$，
∵B（3，m）反比例函数y=-$\frac{6}{x}$的图象上，
∴m=-2，
因为y=k₁x+b过A（-1，6）、B（3，-2）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=-{k}_{1}+b}\\{-2=3{k}_{1}+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式是y=-2x+4；

（2）如图，当P在第二象限时，连接PC，PO，作PE⊥y轴于E，把y=0代入y=-2k+4中得x=2，
∴D的横坐标为2，
∵S_△PCD=S_△DOC，
∴$\frac{1}{2}$CO•PE=$\frac{1}{2}$CO•OD，
∴PE=OD=2，
∴P的横坐标为-2，
把x=-2代入y=-$\frac{6}{x}$中得y=3，
∴此时点P的坐标为（-2，3），
同理可得当点P在第四象限时，P（2，-3），
∴点P的坐标是（-2，3），（2，-3）．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．