Question

如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=3，BC=4．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,切线的性质

专题：

分析：（1）利用角平分线的性质以及其作法得出即可；
（2）分别利用若⊙P与△ABC的BA、BC两条边相切，以及⊙P与△ABC的CA、AC两条边相切，若⊙P与△ABC的CA、BC两条边相切，求出半径进而比较得出答案．

解答：解：（1）由∠B得角平分线、平角∠BXA的平分线、平角∠BYC的角平分线中的任意两条得交点即为所求圆的圆心O；

（2）若⊙P与△ABC的BA、BC两条边相切，且面积最大，则点P为∠ABC的角平分线与AC边的交点，
作PH⊥AB于H，
∵Rt△ABC两直角边的边长为AC=3，BC=4，
∴AB=5，
则BH=BC=4，∴AH=1，
∵∠A=∠A，∠PHA=∠BCA，
∴△APH∽△ABC，
∴

AH

PH

=

AC

BC

=

3

4

，
∴PH=

4

3

AH，
在Rt△APH中，PH=

4

3

AH=

4

3

，即R₁=

4

3

，
同理，⊙P与△ABC的CA、AC两条边相切，R₂=

3

2

，
若⊙P与△ABC的CA、BC两条边相切，R₃=

12

7

，
故R₃＞R₂＞R₁，符合要求⊙P的最大面积为：

144π

49

．

点评：此题主要考查了角平分线的作法以及其性质和勾股定理等知识，得出PH=

4

3

AH是解题关键．