Question

问题背景：
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系．
探究结论：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由∠BAC的度数为

 

，点E落在AB上，容易得出BE与DE之间的数量关系为

 

；
（2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
拓展应用：
（3）如图4，在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标为（-

3

，1），点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x的函数关系式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意画出图形，由直角三角形及等边三角形的性质即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，猜想：BE=DE，取AB的中点F，连接EF，由∠ACB=90°，∠ABC=30°，可知∠1=60°，CF=AF=

1

2

AB，故△ACF是等边三角形，再由△ADE是等边三角形可得出∠CAD=∠FAE，由全等三角形的判定定理可知△ACD≌△AFE，故∠ACD=∠AFE=90°．由F是AB的中点，可知EF是AB的垂直平分线，
进而可得出△ADE是等边三角形，故DE=AE，BE=DE；
（3）根据AAS，可得△ACE与△ADB的关系，可得AE=AD，根据SAS，△ACE和△OCE的关系，可得CO=AC=CB，根据勾股定理，可得答案．

解答：解：（1）如图图中的图2，

∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=CE，
∴点E落在AB的中点处；
∴AE=CE=BE=DE，
故答案为：60°，BE=DE；

（2）如图中的图3

猜想：BE=DE．
证明：取AB的中点F，连接EF，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，CF=AF=

•1

2

AB，
∴△ACF是等边三角形．
∴AC=AF　 ①
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE ②
∴∠BAC=∠DAE．
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD．
即∠CAD=∠FAE③
由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）．
∴∠ACD=∠AFE=90°．
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，
∴BE=DE；
（3）如图中的图4，过A作AD⊥x轴，交x轴于D，由A（-

3

，1）
∴∠AOD=30°，过C分别作CE⊥OA，垂足为E，CF⊥x轴，垂足为F，
在△ACE和△ADB中，

∠CAE=∠BAD ∠AEC=∠ADB AC=AB

∴△ACE≌△ADB（AAS），
∴AE=AD=1，
又∵OA=2AD=2，
∴OE=AE=1，
在△ACE和△OCE中，

AE=OE ∠AEC=OEC CE=CE

∴△ACE≌△OCE（SAS），
∴CO=AC=CB，
CF⊥OB
OF=FB=x，
DB=2x+

3

在Rt△COF中，y²+x²=OC²
在Rt△ABD中，AB²=1²+（

3

+2x）²，
∵AB²=OC²
∴y²=3x²+4

3

x+4，
∴y=±（

3

x+2），
∵C（x，y）在第一象限内，
∴y=-

3

x-2（不符合题意的要舍去）
y=

3

x+2．

点评：本题考查一次函数综合题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，题目稍难．