题目内容

如图，在平面直角坐标系中，以点M（
3
2
，
3
2
）为圆心的圆经过原点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，经过A，B两点的抛物线y=-x2+bx+c的顶点为N．
（1）求抛物线的解析式及点N的坐标；
（2）求直线BN的解析式，判断BN与⊙M的位置关系，并证明；
（3）点P是x轴上一动点，点Q是抛物线上一动点．是否存在这样的点P、Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）首先求出直线BN的解析式，进而利用已知得出∠ABE=∠OBA+∠OBE=90°，由切线的判定得出即可；
（3）利用当BQ1∥x轴，则Q1的纵坐标为：3，进而得出其横坐标，进而求出符合题意的点，以及当AB∥P3Q2，四边形BP3Q2A是平行四边形，进而求出即可．
解答：解：（1）如图1，作MC⊥OA于C，作MD⊥OB于D，则C（
3
2
，0），D（0，
3
2
）
∵M为圆心，
∴OA=2OC=3，OB=2OD=3，
∴A（3，0），B（0，3），
∴
-9+3b+c=0
c=3
，
解得
b=2
c=3
，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴N（1，4）；

（2）设直线BN的解析式为y=kx+m，
根据题意得
k+m=4
m=3
，
解得
k=1
m=3
，
∴直线BN的解析式为y=x+3，
直线BN与⊙M相切，
证明：设直线BN与x轴相交于点E，
由y=x+3=0，得x=-3，所以E（-3，0），
∴OE=OB=OA，
∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴AB为⊙M直径，
∠OBA=∠OBE=45°，
∴∠ABE=∠OBA+∠OBE=90°，
∴直线BN与⊙M相切；

（3）存在，
当BQ1∥x轴，则Q1的纵坐标为：3，
∴3=-（x-1）2+4，
解得：x1=0，x2=2，
∴Q1（2，3），
∴BQ1=2，
当四边形BAP2Q1是平行四边形，
∴AP2=2，
∴P2（5，0），
同理可得出：P1（1，0），
当AB∥P3Q2，
四边形BP3Q2A是平行四边形，
∵设直线AB的解析式为：y=dx+e，
∴
3d+e=0
e=3
，
解得：
d=-1
e=3
，
∴直线AB的解析式为：y=-x+3，
∴直线P3Q2的解析式为：y=-x+f，
由题意可得出：Q2纵坐标为：-3，
∴其横坐标为：-3=-x2+2x+3，
解得：x=1±
7
，
∴Q2（1+
7
，-3），
∴-3=-（1+
7
）+f，
解得：f=-2+
7
，
∴y=-x-2+
7
，
∴P3（-2+
7
，0），
同理可得出：P4（-2-
7
，0），
综上所述：符合题意P点坐标为：P1（1，0），P2（5，0），P3（-2+
7
，0），P4（-2-
7
，0）．
点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及平行四边形的性质与判定等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
练习册系列答案
相关题目
将分式
x
2
-y
x
5
+
y
3
的分子与分母中各项系数化为整数，结果是
 
．
若
x2
是有理数，则x一定是（　　）
A、正实数B、有理数
C、正有理数D、完全平方数
数学问题：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？
为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：
数学模型：在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？
为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
（1）在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
1+2+2+3
2
=4=
42
4
种不同的取法．
（2）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法： 1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5； 5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
1+2+2+3+4
2
=6=
52-1
4
种不同的取法．
（3）在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+6，2+5，2+6，3+4，3+5，3+6，4+3，4+5，4+6，5+2，5+3，5+4，5+6，6+1，6+2，6+3，6+4，6+5；而1+6与6+1，2+5与5+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有 
1+2+3+3+4+5
2
=9=
62
4
 种不同的取法．
（4）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+7，2+6，2+7，3+5，3+6，3+7，4+5，4+6，4+7，5+3，5+4，5+6，5+7，6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7+4，7+5，7+6；而1+7与7+1，2+6与6+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
1+2+3+3+4+5+6
2
=12=
72-1
4
种不同的取法…
问题解决：
依照上述研究问题的方法，解决上述数学模型和提出的问题
（1）在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有
 
种不同的取法；（只填结果）
（2）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有
 
种不同的取法；（只填最简算式）
（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有
 
种不同的取法；（只填最简算式）
（4）各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
问题拓展：
（5）在1～100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于100，有
 
种不同的取法；（只填结果）
（6）各边长都是整数，最大边长为11的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
（7）各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=3，BC=4．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．
在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F． 
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求tan∠BOC的值；  
（3）设△AGE，△EFO，△BFH的面积分别为S1，S2，S3，求S1：S2：S3 的值．
请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．a2-1，ab-b，b+ab．
（1）构造的分式是：
 
．
（2）化简：
 
．
因式分解：x2（y-z）3+y2（z-x）3+z2（x-y）3．
如图：点M是Rt△ABC的斜边BC上不与B、C重合的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，这样的直线共有
 
条．

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