Question

已知平面直角坐标系xOy（如图），直线y=

1

2

x+b经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，连结AO，△AOB的面积等于1 
（1）求b的值；
（2）如果反比例函数y=

k

x

（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．
（3）直接写出当x＞0时：

1

2

x+b＞

k

x

的解集．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）连接OA，过A作AC垂直于y轴，由A的横坐标为2得到AC=2，对于直线解析式，令y=0求出x的值，表示出OB的长，三角形AOB面积以OB为底，AC为高表示出，根据已知三角形的面积求出OB的长，确定出B坐标，代入一次函数解析式中即可求出b的值；
（2）将A坐标代入一次函数求出t的值，确定出A坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式．
（3）先求出一次函数与反比例函数图象的交点坐标，由图象得出

1

2

x+b＞

k

x

的解集．

解答：解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，
∵A（2，t），
∴AC=2，
对于直线y=

1

2

x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，
∵S_△AOB=

1

2

OB•AC=OB=1，
∴b=1；

（2）由b=1，得到直线解析式为y=

1

2

x+1，
将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），
把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，
则反比例解析式为y=

4

x

．

（3）由题意得

y= 1 2 x+1 y= 4 x

，
解得

x=2 y=2

，

x=-4 y=-1

，
∴交点坐标为（2，2），（-4，-1）
∵当x＞0，
∴

1

2

x+b＞

k

x

的解集为x＞2．

点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．