Question

7．如图，在正方形ABCD中，点E在射线AB上，点F在射线AD上．
（1）若CE⊥CF，求证：CE=CF；
（2）若CE=CF，则CE⊥CF是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请画图说明．

Answer 1

分析 （1）首先由正方形的性质得CB=CD，利用全等三角形的ASA判定得△BCE和△DCF全等，由全等三角形的性质得出结论；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行证明即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴CB=CD，∠ABC=∠BCD=∠D=90°
∵CE⊥CF
∴∠ECF=90°
∴∠BCE=∠DCF=90°-∠BCF
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠D=90°}\\{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE=CF．
（2）若CE=CF，则CE⊥CF不一定成立
当点E在线段AB上，且点F在AD延长线上或当点E在AB延长线上，且点F在线段AD上时CE⊥CF成立，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形
∴CB=CD，∠ABC=∠BCD=∠D=90°
∵CE⊥CF
∴∠ECF=90°
∴∠BCE=∠DCF=90°-∠BCF
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠D=90°}\\{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE=CF；
当点E在线段AB上，且点F在线段AD上或当点E在线段AB延长线上，且点F在AD延长线上时，CE⊥CF不成立，如图如下：
．

点评 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，结合图形，综合利用各定理是解答此题的关键．