Question

18．如图，正方形ABCD中，AB=3$\sqrt{10}$，E为BC上一点，且CE=2BE，BF垂直AE于F，将△ABF绕点A旋转，使AB与AD重合，得到△AGD，连接GF交AC于M，交AD于N，则MN的长为$\frac{15}{4}$$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由旋转得到结论判断出△AFG是等腰直角三角形，再有你三角形相似计算即可

解答 解：根据旋转得，∠GAF=DAB=90°，AG=AF，DG=BF，
∴△AFG是等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{10}$，BE=$\sqrt{10}$，
∴AE=10，
∵△ABE∽BFE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AB}{BF}$，
∴BF=$\frac{AB×BE}{AE}$=3=DG，
∴AG=AF=9，
∴GF=9$\sqrt{2}$，
∵△ACE∽AFM，
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{CE}{FM}$，
∴FM=3$\sqrt{2}$，
∵△AFN∽△DGN，
∴$\frac{FN}{GN}=\frac{AF}{DG}$，
∴FN=3GN，
∴GN=$\frac{1}{4}$FG=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴MN=FG-FM-GN=$\frac{15\sqrt{2}}{4}$，
故答案为$\frac{15\sqrt{2}}{4}$

点评 此题是旋转的性质题，主要考查了旋转的性质，三角形相似的性质，解本题的关键是三角形相似得到的比例式求线段．