Question

10．如图．△ABC是等边三角形．BD是AC边上的中线，E是B、C边上一点（不与B、c重合）
（1）如图1，若等边三角形ABC的边长为4，若DE⊥BC，连接AE，求AE的长；
（2）如图2，若DE平分∠BDC，求证：BE=$\sqrt{3}$CE；
（3）如图3，连接AE，交BD于点M．以AM为边作等边△AMN，连接BN．求证：∠CAE+∠CBD=∠MBN．

Answer 1

分析 （1）如图1所示，过A作AF⊥BC，交BC于点F，利用三线合一可得F为BC边上的中点，同理BD为角平分线，BD垂直于AC，根据DE与AF平行，且D为AC中点，得到E为FC中点，求出FE的长，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出AE的长；
（2）在直角三角形BDC中，利用勾股定理求出BD的长，在三角形BCD中，由DE为角平分线，利用角平分线定理列出关系式，即可得证；
（3）连接MC，如图3所示，利用SAS得到三角形NAB与三角形MAC全等，利用全等三角形对应边相等得到NB=MC，再由AM=MC，得到BN=AN，利用等边对等角得到∠NBA=∠NAB=∠EAC，由∠MBN=∠NBA+∠ABD，等量代换即可得证．

解答 （1）解：如图1所示，过A作AF⊥BC，交BC于点F，可得F为BC边上的中点，
∵ABC为等边三角形，且BD是AC边上的中线，
∵DE⊥FC，AF⊥FC，
∴DE∥AF，
∵D为AC中点，
∴E为FC中点，即EF=1，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE=$\sqrt{12+1}$=$\sqrt{13}$；
（2）证明：在Rt△BDC中，BC=4，CD=2，
根据勾股定理得：BD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵在△BDC中，DE平分∠BDC，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BE}{EC}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\frac{BE}{CE}$，
则BE=$\sqrt{3}$CE；
（3）证明：连接MC，如图3所示，
∵△AMN与△ABC都为等边三角形，
∴∠NAM=∠BAC=60°，AB=AB，AN=AM，
∴∠NAM-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠NAB=∠MAC，
在△NAB和△MAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AM}\\{∠NAB=∠MAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴BN=MC，
∵MD垂直平分AC，
∴AM=MN=MC，
∴NB=NM=AN，
∴∠NBA=∠NAB=∠EAC，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠CAE+∠CBD=∠NBA+∠ABD=∠MBN．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．