题目内容
5．
如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在边OA（不包括O、A两点）上移动，过点E作平行于抛物线的对称轴l的直线分别交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点E的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2-2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值．
解答 解：（1）∵抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+4；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，-$\frac{4}{3}$m+4），
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=-$\frac{4}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+4上，
∴点P的坐标为（m，-$\frac{4}{3}$m2+$\frac{8}{3}$m+4），
∴PM=PE-ME=（-$\frac{4}{3}$m2+$\frac{8}{3}$m+4）-（-$\frac{4}{3}$m+4）=-$\frac{4}{3}$m2+4m，
即PM=-$\frac{4}{3}$m2+4m（0＜m＜3）；
（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3-m，EM=-$\frac{4}{3}$m+4，CF=m，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，情况：
①P点在CD上方，则PF=-$\frac{4}{3}$m2+$\frac{8}{3}$m+4-4=-$\frac{4}{3}$m2+$\frac{8}{3}$m．
若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，
即（-$\frac{4}{3}$m2+$\frac{8}{3}$m）：（3-m）=m：（-$\frac{4}{3}$m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=$\frac{23}{16}$；
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，
即m：（3-m）=（-$\frac{4}{3}$m2+$\frac{8}{3}$m）：（-$\frac{4}{3}$m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=1．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为$\frac{23}{16}$或1．
点评 此题是二次函数的综合题，解题关键是熟练掌握待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
| A． | x2-x+1=0 | B． | x2+2x+2=0 | C． | （x-1）2+1=0 | D． | （x-1）（x+2）=0 |
如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么EC=4．