题目内容
15．如图①，A，D分别在x轴，y轴上，AB∥y轴，DC∥x轴．点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周，若顺次连接P，O，D三点所围成的三角形的面积为S，点P运动的时间为t秒，已知S与t之间的函数关系如图②中折线OEFGHM所示．（1）图①中点B的坐标为（8，2）；点C的坐标为（5，6）；
（2）求图②中GH所在直线的解析式；
（3）是否存在点P，使△OCP的面积为五边形OABCD的面积的$\frac{1}{3}$？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由于点P从点D出发，根据图②中S与t的图象可知，点P按顺时针方向沿五边形OABCD的边作匀速运动，又运动速度为1个单位长度/秒，所以DC=5，BC=5，AB=2，AO=8，OD=6，由此得到点C的坐标，由图②20-12=8，得出B的坐标；
（2）先求出点G坐标，再用待定系数法即可求出；
（3）先求出五边形OABCD的面积和△OCP的面积，再分类讨论三种情况：
①当P在CD上时，CP=5-t，由△OCP的面积得出t的值，即可得出P的坐标；
②当P在OA上时，设P（x，0），由△OCP的面积得出x的值，即可得出P的坐标；
③当P在BC上时，过点（$\frac{14}{3}$，0）作OC平行线l交BC于P，求出直线OC和过点（$\frac{14}{3}$，0）与OC平行的直线l以及直线BC的解析式，l与BC的交点即为P，解方程组即可．
解答 解：（1）由题意，可知点P的运动路线是：D→C→B→A→O→D，
DC=5，BC=10-5=5，AB=12-10=2，AO=20-12=8，OD=26-20=6，
∴点C的坐标为（5，6）；
由图②：20-12=8，
∴点B的坐标为（8，2）；
（2）设GH的解析式为y=kx+b，
∵当点P运动到B时，S=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴G（12，24），
把点G（12，24），H（20，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{12k+b=24}\\{20k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-3，b=60，
∴图②中GH所在直线的解析式为：y=-3x+60；
（3）存在点P，使△OCP的面积为五边形OABCD的面积的$\frac{1}{3}$；分三种情况：
作CM⊥OA于M，如图①所示：
则五边形OABCD的面积=矩形ODCM的面积+梯形ABCM的面积=5×6+$\frac{1}{2}$（2+6）（8-5）=42，
△OCP的面积=$\frac{1}{3}$×42=14，
分三种情况：
①由图象得：当P在CD上时，CP=5-t，△OCP的面积=$\frac{1}{2}$（5-t）×6=14，
解得：t=$\frac{1}{3}$，
∴P（$\frac{1}{3}$，6）；
②由①得，当P在OA上时，设P（x，0），
则△OCP的面积=$\frac{1}{2}$x×6=14，
解得：x=$\frac{14}{3}$，
∴P（$\frac{14}{3}$，0）；
③当P在BC上时，过点（$\frac{14}{3}$，0）作OC平行线l交BC于P；如图①所示：
∵直线OC为y=$\frac{6}{5}$x，设直线l的解析式为y=$\frac{6}{5}$x+b，
把点（$\frac{14}{3}$，0）代入得：b=-$\frac{28}{5}$，
∴l的解析式为：y=$\frac{6}{5}$x-$\frac{28}{5}$；
设直线BC的解析式为y=ax+c，
把B（8，2），C（5，6）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=2}\\{5k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{4}{3}$，b=$\frac{38}{3}$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{38}{3}$；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{5}x-\frac{28}{5}}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{38}{3}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{137}{19}}\\{y=\frac{174}{57}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{137}{19}$，$\frac{174}{57}$）；当P在OD上时，5OP=14×2，OP=5.6，
∴P（0，5.6）
综上所述：点P的坐标为（$\frac{1}{3}$，6），或（$\frac{14}{3}$，0），或（$\frac{137}{19}$，$\frac{174}{57}$），或（0.5.6）．
点评 本题是一次函数综合题，考查了点的坐标、用待定系数法求一次函数的解析式、图形面积的计算，交点坐标的求法等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中需分类讨论，通过作辅助线才能得出结果．
挑战100单元检测试卷系列答案
名题金卷系列答案
如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是1.25．l2．l1与l2交于点P．设P点的坐标为（x，y），那么x，y满足的关系式为（ ）
| A． | y=$\frac{{x}^{2}}{4}$+1 | B． | y=x2+2x+1 | C． | y=2x2+1 | D． | y=x2+1 |
如图，?ABCD中，AC⊥AB，AB=3cm，BC=5cm，点E为AB上一点，且AE=$\frac{1}{3}$AB．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止．则当运动时间为$\frac{5}{3}$，2，$\frac{12}{5}$，$\frac{{68-2\sqrt{21}}}{5}$秒时，△BEP为等腰三角形．
如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，∠A=60°，动点P以2cm/s的速度从D向点A移动，动点Q以4cm/s的速度从点A向点B移动．如果P、Q两点分别从D、A同时出发，当一方到达终点时都随之停止运动，那么经过1秒，五边形PQBCD面积最小．