Question

4．已知y≠0，且2x²-9xy+8y²=0，则$\frac{4{x}^{2}-8xy-4{y}^{2}}{{x}^{2}+xy+3{y}^{2}}$的值为$\frac{20+20\sqrt{17}}{91+11\sqrt{17}}$或$\frac{20-20\sqrt{17}}{91-11\sqrt{17}}$．

Answer 1

分析 已知等式变形，整理求出$\frac{x}{y}$的值，将已知等式变形表示出x²，代入原式化简，将$\frac{x}{y}$的值代入计算即可求出值．

解答 解：已知等式变形得：2×（$\frac{x}{y}$）²-9×$\frac{x}{y}$+8=0，
解得：$\frac{x}{y}$=$\frac{9±\sqrt{17}}{4}$，
由2x²-9xy+8y²=0，得到x²=$\frac{9xy-8{y}^{2}}{2}$，
代入得：原式=$\frac{18xy-16{y}^{2}-8xy-4{y}^{2}}{\frac{9xy-8{y}^{2}}{2}+xy+3{y}^{2}}$=$\frac{20xy-40{y}^{2}}{11xy-2{y}^{2}}$=$\frac{20x-40y}{11x-2y}$=$\frac{20×\frac{x}{y}-40}{11×\frac{x}{y}-2}$，
当$\frac{x}{y}$=$\frac{9+\sqrt{17}}{4}$时，原式=$\frac{45+5\sqrt{17}-40}{\frac{99+11\sqrt{17}}{4}-2}$=$\frac{20+20\sqrt{17}}{91+11\sqrt{17}}$；
当$\frac{x}{y}$=$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$时，原式=$\frac{45-5\sqrt{17}-40}{\frac{99-11\sqrt{17}}{4}-2}$=$\frac{20-20\sqrt{17}}{91-11\sqrt{17}}$．
故答案为：$\frac{20+20\sqrt{17}}{91+11\sqrt{17}}$或$\frac{20-20\sqrt{17}}{91-11\sqrt{17}}$．

点评 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．