Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，∠A=60°，动点P以2cm/s的速度从D向点A移动，动点Q以4cm/s的速度从点A向点B移动．如果P、Q两点分别从D、A同时出发，当一方到达终点时都随之停止运动，那么经过1秒，五边形PQBCD面积最小．

Answer 1

分析 首先过点P作PH⊥AB于点H，设经过x秒，五边形PQBCD面积最小，则可表示出PD与AQ，又由AB=8cm，AD=4cm，∠A=60°，表示出PH与AP的长，然后由S_{五边形PQBCD}=S_?ABCD-S_△APQ，可得当△APQ的面积最大时，五边形PQBCD面积最小，继而可得S_△APQ=$\frac{1}{2}$AQ•PH=$\frac{1}{2}$×4x×（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x），则可求得答案．

解答 解：过点P作PH⊥AB于点H，设经过x秒，五边形PQBCD面积最小，
则PD=2xcm，AQ=4xcm，
∴AP=AD-PD=4-2x（cm），
∵∠A=60°，
∴PH=AP•sin∠A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-2x）=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x（cm），
∵S_{五边形PQBCD}=S_?ABCD-S_△APQ，
∴当△APQ的面积最大时，五边形PQBCD面积最小，
∵S_△APQ=$\frac{1}{2}$AQ•PH=$\frac{1}{2}$×4x×（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）=-2$\sqrt{3}$（x-1）²+2$\sqrt{3}$，
∴当x=1时，五边形PQBCD面积最小．
故答案为：1．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及二次函数的最值问题．准确作出辅助线，构造二次函数是关键．