Question

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：动点问题的函数图象

专题：数形结合

分析：分类讨论：当0≤x≤2，如图1，作PH⊥AD于H，AP=x，根据菱形的性质得∠A=60°，AM=1，则∠APH=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到在RtAH=

1

2

x，PH=

3

2

x，然后根据三角形面积公式得y=

1

2

AM•PH=

3

2

x；当2＜x≤4，如图2，作BE⊥AD于E，AP+BP=x，根据菱形的性质得∠A=60°，AM=2，AB=2，BC∥AD，则∠ABE=30°，在Rt△ABE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AE=1，PH=

3

，然后根据三角形面积公式得y=

1

2

AM•BE=

3

；
当4＜x≤6，如图3，作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，则PD=6-x，根据菱形的性质得∠ADC=120°，则∠DPF=30°，在Rt△DPF中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DF=

1

2

（6-x），PF=

3

DF=

3

2

（6-x），则利用三角形面积公式得y=

1

2

AM•PF=-

3

2

x+3

3

，最后根据三个解析式和对应的取值范围对各选项进行判断．

解答：解：当点P在AB上运动时，即0≤x≤2，如图1，
作PH⊥AD于H，AP=x，
∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，
∴∠A=60°，AM=1，
∴∠APH=30°，
在Rt△APH中，AH=

1

2

AP=

1

2

x，
PH=

3

AH=

3

2

x，
∴y=

1

2

AM•PH=

1

2

•2•

3

2

x=

3

2

x；
当点P在BC上运动时，即2＜x≤4，如图2，
作BE⊥AD于E，AP+BP=x，
∵四边形ABCD为菱形，∠B=120°，
∴∠A=60°，AM=2，AB=2，BC∥AD，
∴∠ABE=30°，
在Rt△ABE中，AE=

1

2

AB=1，
PH=

3

AE=

3

，
∴y=

1

2

AM•BE=

1

2

•2•

3

=

3

；
当点P在CD上运动时，即4＜x≤6，如图3，
作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，则PD=6-x，
∵菱形ABCD中，∠B=120°，
∴∠ADC=120°，
∴∠DPF=30°，
在Rt△DPF中，DF=

1

2

DP=

1

2

（6-x），
PF=

3

DF=

3

2

（6-x），
∴y=

1

2

AM•PF=

1

2

•2•

3

2

（6-x）=

3

2

（6-x）=-

3

2

x+3

3

，
∴△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象为三段：当0≤x≤2，图象为线段，满足解析式y=

3

2

x；当2≤x≤4，图象为平行于x轴的线段，且到x轴的距离为

3

；当4≤x≤6，图象为线段，且满足解析式y=-

3

2

x+3

3

．
故选A．

点评：本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围．