Question

16．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（m，n）．
（1）求C点坐标；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，可证得△ADC≌△BOA，继而求得C点坐标；
（2）首先设向右平移了m个单位长度，则点B′的坐标为（m，1）、C′的坐标为（m-3，2），由B′、C′正好落在某反比例函数图象上，即可得m=2（m-3），继而求得m的值，则可求得各点的坐标，然后由待定系数法求得这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）由四边形PGMC′是平行四边形，可得PC′相当于MG平移的得到，PF=ME，FG=C′E=2，继而求得点P的坐标，然后求得点M的坐标．

解答 解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC=∠AOB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵Rt△ABC，∠A=90°，
∴∠DAC+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ADC和△BOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BOA}\\{∠ACD=∠BAO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴AD=OB=1，CD=OA=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C点坐标为：（-3，2）；

（2）设向右平移了m个单位长度，则点B′的坐标为（m，1）、C′的坐标为（m-3，2），
∵B′、C′正好落在某反比例函数图象上，
∴m=2（m-3），
解得：m=6，
∴B′（6，1），C′（3，2），
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{6}{x}$；
设直线B′C′的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=1}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线B′C′的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+3；

（3）存在．
理由：如图2，过点C′作C′E⊥x轴于点E，过点P作PF⊥y轴于点F，
∵四边形PGMC′是平行四边形，
∴PC′相当于MG平移的得到，
∴PF=ME，FG=C′E=2，
∵G是直线B′C′与x轴的交点，
∴G的坐标为：（0，3），
∴P的纵坐标为：3+2=5，
∴点P的坐标为：（$\frac{6}{5}$，5），
∴ME=PF=$\frac{6}{5}$，
∵A′的坐标为：（4，0），A′E=AD=1，
∴OM=OA′-ME-A′E=4-$\frac{6}{5}$-1=$\frac{9}{5}$，
∴点M的坐标为：（$\frac{9}{5}$，0）．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、平移的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．