Question

2．如图，抛物线m：y=$\frac{1}{2}$x²平移得到抛物线n，抛物线m与x轴交于点O，点A．若它的顶点坐标为P（-3，-$\frac{9}{2}$），它的对称轴与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²交于点O．
（1）写出抛物线n的解析式；
（2）写出把抛物线m平移到抛物线n的平移过程；
（3）求出点A，点O，点Q的坐标；
（4）写出图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）利用成顶点式即可解决问题；
（2）利用顶点的平移过程得到抛物线的平移过程；
（3）根据平移得到图中阴影部分的面积=S_△OPQ，求出PQ、OM，然后根据三角形面积公式计算；

解答 解：（1）∵平移的后抛物线的顶点为P（-3，-$\frac{9}{2}$），
∴解析式为y=$\frac{1}{2}$（x+3）²-$\frac{9}{2}$．

（2）∵原抛物线顶点（0，0），平移后的抛物线顶点为P（-3，-$\frac{9}{2}$），
∴y=$\frac{1}{2}$x²先向左平移3个单位，再向下平移 $\frac{9}{2}$个单位即可得到抛物线y=$\frac{1}{2}$（x+3）²-$\frac{9}{2}$；

（3）∵PQ∥y轴，P（-3，-$\frac{9}{2}$），
∴Q（-3，$\frac{9}{2}$），
∴PQ=9，OM=3，

图中阴影部分的面积=S_△OPQ=$\frac{1}{2}$×3×9=$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．