Question

4．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是$\widehat{AC}$上任意一点，连结AD，GD，GC，延长AG、DC交于点F．
（1）求证：∠FGC=∠AGD；
（2）若AD=GD，求证：△FCG为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的∠FGC=∠ADC，根据垂径定理得出$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，推出∠AGD=∠ADC即可；
（2）根据圆内接四边形的∠FGC=∠ADC，∠FCG=∠GAD，求出∠FCG=∠FGC，根据等腰三角形的判定推出即可．

解答 证明：（1）∵A、D、C、G四点共圆，
∴∠FGC=∠ADC，
∵AB为直径，CD⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠AGD=∠ADC，
∴∠FGC=∠AGD；

（2）∵A、D、C、G四点共圆，
∴∠FGC=∠ADC=∠AGD，∠FCG=∠GAD，
∵AD=GD，
∴∠GAD=∠DGA，
∴∠FCG=∠FGC，
∴FG=FC，
∴△FCG为等腰三角形．

点评 本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．