Question

2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴正半轴上，点A、D在第一象限内，反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象经过点A交DC边于点E，交OD于点F，且CE=$\frac{1}{3}AB$，若点B的坐标为（1，0），则点F的坐标为（　　）

• A． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}，\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{3}，\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}，2\sqrt{3}$）
• D． （2$\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 设正方形的边长为a，则A（1，a），E（a+1，$\frac{1}{3}$a），根据k=1•a=（a+1）•$\frac{1}{3}$a，求得a和k的值，然后得出D的坐标，根据待定系数法求得直线OD的解析式，与反比例函数解析式联立方程，解方程即可求得．

解答 解：设正方形的边长为a，
∵点B的坐标为（1，0），
∴OC=1+a，
∵CE=$\frac{1}{3}AB$，
∴CE=$\frac{1}{3}$a，
∴E（a+1，$\frac{1}{3}$a），
∵A（1，a），
∴1•a=（a+1）•$\frac{1}{3}$a，
解得a=2，
∴A（1，2），D（3，2），
把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$求得k=2，
∴反比例函数y=$\frac{2}{x}$，
设直线OD的解析式为y=nx，
代入D（3，2）得，2=3n，解得n=$\frac{2}{3}$，
∴直线OD的解析式为y=$\frac{2}{3}$x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{2}{3}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴F（$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
故选B．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标特征得出k=1•a=（a+1）•$\frac{1}{3}$a，从而求得点的坐标和系数k是解题的关键．