Question

11．如图1，四边形ABCD是正方形，在AB的延长线上取一点E，连接EC，过点C作CF⊥EC交AD于F．
（1）求证：EC=FC．
（2）若G、M分别是AB、CD上一动点，连接GM．H是GM上的中点，连接BH，当G、M运动到某一特殊位置时得到BH=BG+CM，此时∠ABH的度数是多少？请说明理由．
（3）如图2在（2）的条件下，若BG=1，MC=$\sqrt{3}$，连接AH．求出四边形△AHMD的面积．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠CBE=∠D，进而得出∠DCF=∠BCE，从而判断出△DCF≌△BCE，即可；
（2）先判断出∠MNH=∠GBH，得出△HNM≌△HGB，即可得出HN=HB，MN=GB，进而判断出NC=BH=$\frac{1}{2}$BN
即可；
（3）先求出BN=2（$\sqrt{3}$+1），再利用勾股定理求出PH=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，BC=3+$\sqrt{3}$，最后用面积的差即可得出结论．

解答 解：（1）证明：如题干图1，
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=BC，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
∴∠CBE=180°-90°=90°，
∴∠CBE=∠D
∵CF⊥EC，
∴∠ECF=90°，
∴∠ECF-∠BCF=∠BCD-∠BCF，
∴∠DCF=∠BCE，
∴△DCF≌△BCE，
∴EC=FC，

（2）∠ABH=60°，
理由：如图2，延长BH交CD于N，
∵H是MG的中点，
∴HM=HG
在正方形ABCD中，DC∥AB，
∴∠MNH=∠GBH，∠NMH=∠BGH，
∴△HNM≌△HGB，
∴HN=HB，MN=GB，
∵BH=GB+MC，
∴NC=BH=$\frac{1}{2}$BN，
∴∠NBC=30°，
∴∠ABH=90°-30°=60°

（3）如图3：延长BH交CD于N作HP⊥AB于P．
∴∠HPB=90°，
∴∠PHB=90°-60°=30°
由（2）得：BH=CN=GB+MC=1+$\sqrt{3}$
∴BN=2（$\sqrt{3}$+1），
由勾股定理得：PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{3}$+1）=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，BC=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$+1）=3+$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形AHMD}=S_{四边形ABND}-S_△AGH=$\frac{（2+\sqrt{3}+3）（3+\sqrt{3}）}{2}$-$\frac{（\sqrt{3}+2）•\frac{1}{2}（3+\sqrt{3}）}{2}$=$\frac{27+11\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，几何图形的面积的求法，解（1）的关键是判断出∠DCF=∠BCE，解（2）的关键是判断出NC=BH=$\frac{1}{2}$BN，解（3）的关键是求出BN=2（$\sqrt{3}$+1），是一道中等难度的中考常考题．