Question

6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+4的图象经过点A（1，3），点B是一次函数y=kx+4与正比例函数y=$\frac{1}{3}$x的图象的交点．
（1）求一次函数y=kx+4的表达式及点B的坐标；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入一次函数解析式可求得k的值，将y=-x+4与y=$\frac{1}{3}$x联立可求得的交点坐标；
（2）作AE⊥y轴，BF⊥y轴，然后依据S_△AOB=S_△OBC-S_△AOC求解即可．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+4的图象经过点A（1，3），
∴k+4=3，解得k=-1，
∴y=-x+4．
∵点B是一次函数y=kx+4的图象与正比例函数y=$\frac{1}{3}$x的图象的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（3，1）．
（2）∵y=-x+4，当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
∴OC=4．
如图作AE⊥y轴，BF⊥y轴．

∵A（1，3），B（3，1），
∴AE=1，BF=3．
∴S_△AOB=S_△OBC-S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•BF-$\frac{1}{2}$OC•AE=$\frac{1}{2}$×4×3-$\frac{1}{2}$×4×1=4．

点评 本题主要考查的是一次函数与正比例函数的交点问题、三角形的面积公式，发现S_△AOB=S_△OBC-S_△AOC是解题的关键．