Question

10．如图，已知AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC延长线于点F，交AB于点E．求证：
（1）△BAF∽△ACF；
（2）AB²：AC²=BF：CF．

Answer 1

分析 （1）利用垂直平分线的性质得出AF=DF，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACF∽△BAF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求由相似三角形的性质得出即可．

解答 证明：（1）连接AF，
∵AD的垂直平分线交BC的延长线于F，
∴AF=DF，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，
∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF；

（2）∵△ACF∽△BAF，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{BF}{AF}$，
∴AF²=FB•FC，
∴$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{A{F}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{FB}{CF}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1是解题关键．