题目内容

如图在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0），B（0，1），C（d，2）．
（1）直接写出d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在一次函数y=kx+3图象上．
①请求出这个一次函数图象的解析式；
②在直线B′C′上是否存在一点P，使得 最大，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G，交x轴于点H，问在平面内是否存在点D使得△DGH是以GH为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）作CN⊥x轴于点N，易证RT△CNA≌RT△AOB，可得AN=BO，NO=NA+AO，即可解题；
（2）设反比例函数为y=
k
x
，点C'和B'在该比例函数图象上，设C'（E，2），则B'（E+3，1）即可求得E、k的值，即可求得点B'，C'坐标，即可求得直线B'C'解析式；
（3）设Q是GC'的中点，易求得点Q坐标，过Q作直线l与x轴交于M'点，与图象y=
6
x
交于P'点，作P'H⊥x轴于点S，QK⊥y轴于点K，P'S与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，易证△P'EQ≌△QFM'，可得EQ=FM'，即可求得点M'的坐标，根据P'E2+EQ2=QF2+FM'2即可求得t的值，即可解题．
解答：解：（1）作CN⊥x轴于点N，
∵在RT△CNA和RT△AOB中，
CN=OA
AC=AB
，
∴RT△CNA≌RT△AOB，（HL）
∴AN=BO=1，NO=NA+AO=3，且点C在第二象限，
∴d=-3；

（2）设反比例函数为y=
k
x
，点C'和B'在该比例函数图象上，
设C'（E，2），则B'（E+3，1）
把点C'，B'代入y=
k
x
得：k=2E，k=E+3，
∴E=3，k=6，
∴反比例函数为y=
6
x
，
得点C'（3，2），B'（6，1），
设置限C'B'解析式为y=ax+b，把C'、B'两点坐标代入得：
3a+b=2
6a+b=1
，
解得：a=-
1
3
，b=3，
∴直线C'B'的解析式为y=-
1
3
x+3；

（3）设Q是GC'的中点，由G（0，3），C'（3，2），

得点Q坐标为（
3
2
，
5
2
），
过Q作直线l与x轴交于M'点，与图象y=
6
x
交于P'点，
若四边形P'GM'C'是平行四边形，则P'Q=QM'，
∴点M'横坐标大于
3
2
，点P'横坐标小于
3
2
，
作P'H⊥x轴于点S，QK⊥y轴于点K，P'S与QK交于点E，
作QF⊥x轴于点F，则△P'EQ≌△QFM'，
设EQ=FM'=t，
则点P'横坐标为
3
2
-t，点P'的纵坐标y为
6
x
=
6
3
2
-t
=
12
3-2t
，
∴点M'的坐标是（
3
2
+t，0），
∴P'E=
12
3-2t
-
5
2
，
由P'Q=QM'得P'E2+EQ2=QF2+FM'2，
(
12
3-2t
-
5
2
)2+t2=(
5
2
)2+t2，
解得：t=
3
10
，
∴
3
2
-t=
6
5
，
12
3-2t
=5，
3
2
+t=
9
5
，
得：P'（
6
5
，5），M'（
9
5
，0），
则点P'为所求的点P，点M为所求的点M．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质，考查了二次函数解析式的求解，本题难度较大，本题中正确求得二次函数解析式是解题的关键．
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=
1
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=
 
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