Question

6．如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，点E为BC的中点，连接DE、AE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为2，求AD•AC的值．

Answer 1

分析 （1）先连接OD和BD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）根据射影定理即可求得．

解答 （1）证明：连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=CE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC=90°，
∴∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵在RT△ABC中，BD⊥AC．
∴AB²=AD•AC，
∵AB=2，
∴AD•AC=4．

点评 本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理以及射影定理的应用，解此题的关键是求出∠ODE=90°，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．