Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D是BC边上的一个动点（不与B、C重合）∠ADE=45°，当△ADE是等腰三角形时，EC的长度为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：分两种情况，当∠ADE为顶角时，可证明△ABD≌△DCE，可求得CE；当∠ADE为底角时，则只有EA=ED，根据条件可知∠DAE=45°，可知E为AC中点，可求得CE．

解答：解：
当∠ADE为顶角时，则有DA=DE，
∵AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴∠C=∠B=45°，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADC=45°+∠EDC，
又∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD，
∴∠BAD=∠EDC，
在△ABD和△DCE中

∠B=∠C ∠BAD=∠CDE DA=DE

∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD=AB=2，CE=BD，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，可求得BC=2

2

，
∴CE=BD=BC-CD=2

2

-2；
当∠ADE为底角时，则只有AE=DE，可知∠DAE=45°，∠DEA=90°，
∴E为AC的中点，
∴CE=1，
综上可知CE的长为1或2

2

-2，
故答案为：1或2

2

-2．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据条件确定出E点的位置是解题的关键，注意结合勾股定理、直角三角形的性质．