Question

某品牌装卖店准备销售男女两款T恤，进价都是30元，并以相同的销售价x（元）进行销售，其中50≤x≤120．经市场调查发现：女款T恤的定价为50元时，月销售量为120件；售价不超过90元时，价格每上涨1元，销售量减少1件；销售价不低于90元时，超过90元的部分每上涨1元，销售量减少2件；设该品牌专卖店销售女款T恤的月利润为y₁（元），销售男款T恤月利润为y₂（元），销售这两款T恤的月利润总和为y（元）．
（1）当x=90时，女款T恤的月销量为

 

件；?
    当50≤x≤90时?女款T恤的月销量为

 

件（用含x的代数式表示）；?
    当90≤x≤120时?女款T恤的月销量为

 

件（用含x的代数式表示）；
（2）若女款T恤的月销售量为100件，售价为多少元？
（3）求y₁与x的函数关系式；
（4）若男款T恤月利润y₂与x的函数关系式为：y₂=20x+3000，求销售这款T恤的月销售利润总和y与x的函数关系式；该专卖店经理应如何定价，才能使每月获得的月收益y最大？说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据售价不超过90元时，价格每上涨1元，销售量减少1件，即可求得①当50≤x≤90时②当90≤x≤120时的函数式，即可解题；
（2）根据（1）中解析式将y=100代入，求得x的值即可解题；
（3）根据利润=销量×每件盈利，可得①当50≤x≤90时 ②当90≤x≤120时，利润的二次函数式，即可解题；
（4）分别对①当50≤x≤90时，②当90≤x≤120时，求得的二次函数值求最大值即可解题．

解答：解：（1）∵售价不超过90元时，价格每上涨1元，销售量减少1件，
∴x=90时，月销量为80件，
故函数式为：当50≤x≤90时，女款T恤的月销量为y=-x+170；?
当90≤x≤120时，女款T恤的月销量为y=-2x+260；
故答案为 80，y=-x+170，y=-2x+260；
（2）当100=-x+170时，
解得：x=70，符合题意；
 当100=-2x+260时，
解得：x=65，不符合题意；
故售价为70元；
（3）∵利润=销量×每件盈利，
∴①当50≤x≤90时，y₁=（x-30）（-x+170）=-x²+200x-5100；
②当90≤x≤120时，y₁=（x-30）（-2x+260）=-2x²+320x-7800；
（4）∵y=y₁+y₂，
∴①当50≤x≤90时，y=-x²+200x-5100+20x+3000=-x²+220x-2100，?
当x=110时，y有最大值，
∵50≤x≤90，
∴x=90时有最大值为：9600元，
②当90≤x≤120时，y=-2x²+320x-7800+20x+3000=-2x²+340x-4800，
当x=85时，y有最大值，
∵90≤x≤120，
∴x=90时有最大值为：9600元．
故专卖店经理应定价90元，能使每月获得的月收益y最大．

点评：本题考查了二次函数解析式的求解，考查了二次函数最大值的求解，本题中正确求得二次函数解析式是解题的关键．