Question

如图，已知圆的直径，AB=6cm，CD是圆上长为2cm的弦，当弦CD在半圆AB上滑动时，AC和BD延长线的夹角是否为定值？如果不是，说明理由；如果是，求出这个定角的正弦值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：连接BC，利用圆周角定理可知∠PBC为定值，则可知∠P为定值，又可证明△PCD∽△PBA，可求得PC和PB的比值，在Rt△PCB中，可求得∠P的正弦值．

解答：解：连结BC，
∵CD为定长，圆直径为定值，?
∴在CD滑动过程中，

CD

的度数不变，?
∴∠PBC为定值．?
又∵AB为直径，
∴∠ACB=∠PCB=90°，?
∴∠P=90°-∠PBC为定值．?
∵∠PCD=∠PBA，
∴△PCD∽△PBA．
∴PC：PB=2：6=1：3，
可设PC=x，则PB=3x，在Rt△PBC中，由勾股定理可求得BC=2

2

x，
∴sinP=

BC

PB

=

2 2

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及圆周角定理和三角函数的定义，掌握相似三角形的对应边成比例，找到PC和BC的关系是解题关键．