Question

5．在同一坐标系中，反比例函数y=$\frac{2}{x}$和y=$\frac{6}{x}$分别与一个正比例函数在第一象限相交于A、B两点，则OA：OB=$\sqrt{3}$：3．

Answer 1

分析 作辅助线，构建三角形相似，根据反比例关系式设点A和B的坐标，由AE∥BF，得相似，列式为$\frac{AE}{BF}=\frac{OE}{OF}$，代入可求得a与b的关系，再根据比例式$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OE}{OF}$，得出结论．

解答 解：分别过A、B作x轴的垂线AE、BF，垂足分别为E、F，
设A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，$\frac{6}{b}$）（a＞0，b＞0），
∴OE=a，OF=b，AE=$\frac{2}{a}$，BF=$\frac{6}{b}$，
∵AE∥BF，
∴△AEO∽△BFO，
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{OE}{OF}$，
∴$\frac{\frac{2}{a}}{\frac{6}{b}}$=$\frac{a}{b}$，
∴$\frac{6a}{b}$=$\frac{2b}{a}$，
∴6a²=2b²，
∴b=$\sqrt{3}$a，
∵$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OE}{OF}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$：3．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用函数关系式表示点的坐标是数学中常用的方法，要熟练掌握，与平行相似结合在一起列等量关系式，可以求出线段的比．