Question

13．给出一个定义：如果两个二次项系数为1的一元二次方程有一个相等的实数根，且另外两个根互为相反数，那么这两个一元二次方程称为“友好方程”．
例如：方程x²-2x-3=0的两个根为x₁=-1，x₂=3；方程x²+4x+3=0的两个根为x₁=-1，x₂=-3，则方程x²-2x-3=0与x²+4x+3=0就是“友好方程”．
（1）请你写出方程的x²-2x-8=0的“友好方程”；
（2）若关于x的一元二次方程x²+（b-1）x+b=0与x²+cx+c-1=0是“友好方程”，求c的值；
（3）请写出一个方程与其”友好方程“之间存在的关系（写出两种即可）．

Answer 1

分析 （1）求出方程x²-2x-8=0，根据新定义得出其“友好方程”的两根的两种情况，由根写出方程即可；
（2）解方程x²+cx+c-1=0可得x₁=c-1，x₂=-1，由新定义知两方程有公共根，据此可分①x=-1是两方程的公共根、②x=1-c是方程的公共根，两种情况分别求解可得；
（3）由“友好方程”定义结合（1）中的实例即可得．

解答 解：（1）解方程x²-2x-8=0得：x=-2或x=4，
则其“友好方程”的两根为：-2、-4或2、4，
若“友好方程”的两根为-2、-4，则该方程为（x+2）（x+4）=0，即x²+6x+8=0，
若“友好方程”的两根为2、4，则该方程为（x-2）（x-4）=0，即x²-6x+8=0；

（2）由方程x²+cx+c-1=0得：x₁=c-1，x₂=-1，
①若x=-1是两方程的公共根，代入方程x²+（b-1）x+b=0得：
（-1）²+（b-1）（-1）+b≠0，
则x=-1不是两方程公共解；
②若x=1-c是方程的公共根，则x=1是方程x²+（b-1）x+b=0的根，
代入，得：1+b-1+b=0，
解得：b=0，
则方程可化为x²-x=0，解得：x₁=1，x₂=0，
∴1-c=0，
∴c=1；

（3）①一个方程与其“友好方程”的常数项互为相反数；
②一个方程有两个“友好方程”，这两个“友好方程”的常数项相等，一次项互为相反数．

点评 本题主要考查一元二次方程的解法、解的概念，熟练掌握“友好方程”的定义是解题的关键．