Question

13．如图，?ABCD中，E为AD的中点，BE、CD相交于点F．
（1）求证：AB=DF
（2）若△DEF的面积为S₁，△BCF的面积为S₂，且S₁²-S₂+4=0，求?ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，平行线的性质得到∠A=∠EDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到DE=AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，求得S₂=4S₁，解方程得到S₁=2，求得S₂=8，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠A=∠EDF，
又∵E为AD中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中$\left\{{\begin{array}{l}{∠A=∠EDF}\\{AE=DE}\\{∠1=∠2}\end{array}}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（ASA），
∴AB=DF，

（2）解：∵△ABE≌△DFE，
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∵DE∥BC，
∴△FED∽△FBC
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴即S₂=4S₁，
∵S₁²-S₂+4=0，
∴S₁²-4S₁+4=0，∴S₁=2，
∴S₂=8，
又∵△ABE≌△DFE，
∴?ABCD的面积=S_△BCF=8．

点评 本题考查了相似三角形的，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．