Question

3．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD位于第二象限，且AB∥x轴，点B在点C的正下方，双曲线y=$\frac{1-2m}{x}$（x＜0）经过点C．
（1）m的取值范围是m＞$\frac{1}{2}$；
（2）若点B（-1，1），判断双曲线是否经过点A；
（3）设点B（a，2a+1）．
①若双曲线经过点A，求a的值；
②若直线y=2x+2交AB于点E，双曲线与线段AE有交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线所处得象限得到1-2m＜0，解不等式即可；
（2）根据正方形得性质求得A（-3，1），C（-1，3），由双曲线经过C点，且-3×1=-1×3即可判断；
（3）①根据B点坐标求得A、C点坐标，由双曲线经过A、C点，得到（a-2）（2a+1）=a（2a+3），解放车即可求得结论；②点E在AB上，则E点纵坐标为2a+1，进而求得E点坐标，代入双曲线y=$\frac{a（2a+3）}{x}$得到
2a+1=$\frac{a（2a+3）}{a-\frac{1}{2}}$，解得a=-$\frac{1}{6}$，结合①即可解决问题．

解答 解：（1）∵双曲线y=$\frac{1-2m}{x}$（x＜0）位于第二象限，
∴1-2m＜0，
∴m＞$\frac{1}{2}$；
故答案为m＞$\frac{1}{2}$；

（2）∵点B（-1，1），
∴A（-3，1），C（-1，3），
∵双曲线y=$\frac{1-2m}{x}$（x＜0）经过点C，
∴双曲线为y=-$\frac{3}{x}$，
∵-3×1=-3，
∴双曲线是经过点A；

（3）①∵点B（a，2a+1），
∴A（a-2，2a+1），C（a，2a+3），
∵双曲线y=$\frac{1-2m}{x}$（x＜0）经过点A、C，
∴（a-2）（2a+1）=a（2a+3），
解得a=-$\frac{1}{3}$；
②∵点E在AB上，
∴E点纵坐标为2a+1，
代入y=2x+2得，x=a-$\frac{1}{2}$，
∴E（a-$\frac{1}{2}$，2a+1），
∵C（a，2a+3），双曲线y=$\frac{1-2m}{x}$（x＜0）经过点C，
∴双曲线为y=$\frac{a（2a+3）}{x}$，
把E（a-$\frac{1}{2}$，2a+1）代入得，2a+1=$\frac{a（2a+3）}{a-\frac{1}{2}}$，
解得a=-$\frac{1}{6}$，
∴双曲线与线段AE有交点，a的取值范围是-$\frac{1}{3}$≤a≤-$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意求得A、C的坐标是解题的关键．